Question

如圖1，在平面四邊形ACPE中，D為AC中點(diǎn)，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，現(xiàn)沿PD折起使∠ADC=90°，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn)，并且ABCD為正方形，設(shè)F，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐P-GHF的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使直線FM與直線PA所成角為60°？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意證明平面HFG∥平面PDAE，從而將P到平面GHF的距離轉(zhuǎn)化為HG到平面PDAE的距離，求出體積，
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在，利用向量運(yùn)算求解位置．

解答： 解：（1）∵F、G分別為PB、BE的中點(diǎn)，
∴FG∥PE，
又∵FG?平面PED，PE⊆平面PED，
∴FG∥平面PED，同理，F(xiàn)H∥平面PED．
且HF=0.5AD=1，GF=0.5PE=

5

2

．
∴HF與GF的夾角等于AD與PE的夾角（設(shè)為θ），易得，sinθ=

5

5

；
∵平面HFG∥平面PDAE，
∴P到平面GHF的距離即HG到平面PDAE的距離，
過(guò)H作PD的垂線，垂足為M，則HM=1為P到平面GHF的距離．
V_P-GHF=

1

3

×

1

2

×1×

5

2

×

5

5

×1=

1

12

．
（2）∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．
又∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AD=PD=2EA=2，
∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），
假設(shè)在線段PC上存在一點(diǎn)M使直線FM與直線PA所成的角為60°，
由題意可設(shè)

PM

=λ

PC

，其中0≤λ≤1.

PC

=（0，2，-2），則

PM

=（0，2λ，-2λ），

FP

=（-1，-1，1）．

FM

=（-1，2λ-1，1-2λ）．
∵直線FM與直線PA所成角為60°，

PA

=（2，0，-2），
∴|cos＜

FM

，

PA

＞|=

1

2

，即

|-2-2+4λ|

2 2 • 1+2(2λ-1)2

=

1

2

．
解得，λ=

5

8

，此時(shí)，

PM

=（0，

5

4

，-

5

4

），|

PM

|=

5 2

4

．
∴在線段PC上存在一點(diǎn)M，使直線FM與直線PA所成角為60°，此時(shí)PM=

5 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及量的運(yùn)算，涉及到角時(shí)通常用向量的方法求解，可達(dá)到簡(jiǎn)化思路與運(yùn)算的效果．