Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當b=0時，兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點P，設(shè)曲線f（x），g（x）在P處的切線分別為l₁，l₂，若切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形，求P點坐標和c的值；
（3）當b=-2e²時，討論關(guān)于x的方程=g（x²）的根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定出函數(shù)的自變量取值范圍，利用函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)知道其導函數(shù)一定大于等于零．
法一：利用a+b≥2求最值的方法確定出b的取值范圍即可；
法二：利用二次函數(shù)圖象法求出b的取值范圍即可．
（2）b=0時，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，據(jù)題意設(shè)出公共點，由切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形可知，一個傾斜角是另外一個的2倍列出方程求出公共點坐標即可，分情況討論求出P，把P坐標代入到g（x）中即可求出c．
（3）設(shè)函數(shù)φ（x）=-g（x²），這個函數(shù)有幾個零點就說明有幾個根．把b=-2e²代入到這個函數(shù)中確定出函數(shù)解析式，然后利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力并求出函數(shù)的最值，討論最值的取值范圍確定函數(shù)領(lǐng)點的個數(shù)即可求出根．
解答：解：（1），
依題，在（0，+∞）上恒成立，
法1：，又（當且僅當，即時取等）
∴．
法2：，令t（x）=2x²+bx+1，則t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函數(shù)t（x）圖象得，
；
2°，
綜合1°、2°得．
（2）b=0時，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，
設(shè)P（x，y），l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，
則，由于x＞0，則α，β均為銳角，
因為切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形依題，有以下兩種情況：
1°α=2β時，，
此時，；
2°β=2α時，，
此時，．
（3）b=-2e²時，
令，
0＜x＜e時，∅^/（x）＞0；x＞e時，∅^/（x）＜0
∴∅（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，
∴，
又x→0時，∅（x）→-∞；x→+∞時，∅（x）→-∞
1°∅（e）＞0即時，函數(shù)∅（x）有兩個零點即方程有兩個根；
2°∅（e）=0即時，函數(shù)∅（x）有一個零點即方程有一個根；
3°∅（e）＜0即時，函數(shù)∅（x）沒有零點即方程沒有根．
點評：此題考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想．