Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+acosx，x∈[0，

π

3

]
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值、最小值以及相應(yīng)的x的值；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=2代入f（x）解析式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值與最大值，以及相應(yīng)x的值即可；
（2）f（x）解析式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及a的正負(fù)即可求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1=-（cosx-1）²+2，
∵0≤x≤

π

3

，∴

1

2

≤cosx≤1，
則當(dāng)cosx=

1

2

，即x=

π

3

時(shí)，[f（x）]_min=f（

π

3

）=

7

4

；當(dāng)cosx=1，即x=0時(shí)，[f（x）]_max=2；
（2）f（x）=sin²x+acosx=-cos²x+acosx+1=-（cosx-

a

2

）²+1+

a2

4

，
∵

1

2

≤cosx≤1，
∴當(dāng)a≥0，cosx=-1時(shí)，[f（x）]_min=-（1+

a

2

）²+1+

a2

4

=a；當(dāng)a＜0，cosx=1時(shí)，[f（x）]_min=-（1-

a

2

）²+1+

a2

4

=-a．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．