已知拋物線C的方程為x2=4y,直線y=2與拋物線C相交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)A,B在拋物線C上.

(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求證:直線AB的斜率為定值;

(Ⅱ)若直線AB的斜率為,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為8,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)設(shè)直線AM的斜率為k,

  所以直線BM的斜率為-k,

  可求得則直線AM的方程為

  代入,

  同理.7分

  (Ⅱ)若直線AB的斜率為由(1)可得:

  

  

  又點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為8,

  所以點(diǎn)N到直線MA,MB的距離均為4,

  

  所以△MAB是直角三角形 15分


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已知拋物線C的方程為y=x2,過(0,1)點(diǎn)的直線l與C相交于點(diǎn)A,B,證明:OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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(2013•浙江模擬)已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),直線:x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè).
(Ⅰ)求證:直線與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(Ⅱ)已知定點(diǎn)A(1,0),若直線與拋物線C的交點(diǎn)為Q,R,滿足
AQ
AR
=0
,是否存在實(shí)數(shù)m,使得原點(diǎn)O到直線的距離不大于
2
4
,若存在,求出正實(shí)數(shù)p的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2011•合肥三模)已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),過拋物線上點(diǎn)M(-2
p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點(diǎn)N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),焦點(diǎn)F為 (0,1),點(diǎn)P(x1,y1)是拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)A(s,t).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范圍.
(3)過點(diǎn)A作拋物線C的另一條切線AQ,其中Q(x2,y2)為切點(diǎn),試問直線PQ是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0且p為常數(shù)),過焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2
①求證:4x1x2=p2
②若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于N點(diǎn)且AB⊥AN,求|x1-x2|

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