已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程為（）．由題設(shè)得

，解得，所以雙曲線方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為（）．點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得．

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且．整理得．�、�

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足

，．

從而線段的垂直平分線方程為．

此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．

由題設(shè)可得．

整理得，．

將上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范圍是．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.

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