Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωx•cosωx+2Acos²ωx-A（其中A＞0，ω＞0）的最小正周期為π，最大值為2．
（Ⅰ）求A，ω的值；
（Ⅱ）設(shè)

π

6

＜θ＜

π

3

，f（θ）=

2

3

，求f（

π

3

-θ）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角、兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用周期求出ω，通過最大值求出a的值；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x）解析式化簡f（θ）=

2

3

，求出sin（2θ+

π

3

）的值，由θ的范圍求出2θ+

π

3

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2θ+

π

3

）的值，由sin2θ=sin[（2θ+

π

3

）-

π

3

]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin2θ的值，即可確定出f（

π

3

-θ）的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinωx•cosωx+2Acos²ωx-A=sin2ωx+Acos2ωx=

A2+1

sin（2ωx+φ）
∵T=

2π

2ω

=π，ω＞0，
∴ω=1，
由

A2+1

=2，得A=

3

；
（II）f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∴f（θ）=2sin（2θ+

π

3

）=

2

3

，
即sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，
∵

π

6

＜θ＜

π

3

，
∴

2π

3

＜2θ+

π

3

＜π，
∴cos（2θ+

π

3

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

，
∴sin2θ=sin[（2θ+

π

3

）-

π

3

]=

1

3

×

1

2

+

2 2

3

×

3

2

=

1+2 6

6

，
∴f（

π

3

-θ）=2sin（

2π

3

-2θ+

π

3

）=2sin2θ=

1+2 6

3

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．