Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=2（a_n-n+1）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，若S_n≥a_n+2n²，求：正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲證數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列，只需證得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），根據(jù)等式a_n+1=2（a_n-n+1）變形可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）先求出a_n，從而求出S_n，然后代入不等式S_n≥a_n+2n²，從而求出正整數(shù)n的最小值．

解答：（1）證明：∵a_n+1=2（a_n-n+1）
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n} 為等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，
a_n-2n=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+2n
∴S_n=2ⁿ⁺¹+n²+n-2
由S_n≥a_n+2n²
可得2ⁿ⁺¹+n²+n-2≥2ⁿ+2n+2n²，
∴2ⁿ≥n²+n+2
∴正整數(shù)n的最小值為5．

點評：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及等比關(guān)系的確定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．