Question

（2012•江蘇二模）設(shè)實(shí)數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，則

m4-n4

m3n

的最小值為

-

80

3

．

Answer 1

分析：先確定m，n的范圍，再得出m=2，n=6時(shí)，

m4-n4

m3n

取最小值即可．

解答：解：設(shè)y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
當(dāng)2m-n＞0時(shí)，因?yàn)閤∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
當(dāng)2m-n＜0時(shí)，因?yàn)閤∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n滿足

-8m+6n-8≥0 2m-n＞0 n≤6

或

2m-n＜0 4m-8≥0 n≤6

可行域如圖或
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=6時(shí)，(

n

m

)max=3
又

m4-n4

m3n

=

m

n

-(

n

m

)3，∴

m4-n4

m3n

的最小值為=

1

3

-3³=-

80

3

故答案為：-

80

3

點(diǎn)評：本題考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．