Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．?
（1）求離心率的最值，并寫出此時(shí)雙曲線的漸近線方程．?
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4 10

5

，±

3 10

5

）時(shí)，

PF1

•

PF2

=0，求雙曲線方程．

Answer 1

（1）根據(jù)雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=3|PF₂|，∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），
雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左準(zhǔn)線方程為：x=-

a2

c

，
由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得

|PF1|

x0+ a2 c

=e，∴3a=ex₀+a，得x₀=

2a2

c

∵P在雙曲線的右支，∴x₀≥a即

2a2

c

≥a，解得1＜e≤2
∴離心率e的最大值為2，此時(shí)

c

a

=2，得b=

c2-a2

=

3

a
因此，雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x
（2）

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀）
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴-（c²-x₀²）+y₀²=0，可得c²=x₀²+y₀²=10…（*）
∵|PF₂|=

(c-x0)2+y02

=a，
∴（c-x₀）²+y₀²=a²，
代入（*）式和x₀=

2a2

c

，可得a²=20-2cx₀=20-4a²，解之得a²=4
∴b²=c²-a²=6，得雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1
此時(shí)x₀=

2a2

c

=

4 10

5

，y₀=±

3 10

5

所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4 10

5

，±

3 10

5

）時(shí)

PF1

•

PF2

=0，且此時(shí)的雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1．