Question

(本小題滿分16分)

已知數(shù)列單調(diào)遞增,且各項(xiàng)非負(fù).對(duì)于正整數(shù),若任意的,仍是中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“項(xiàng)可減數(shù)列”.

(Ⅰ)已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,試確定的最大值.

(Ⅱ)求證:若數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,則其前項(xiàng)的和.

(Ⅲ)已知是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,寫(xiě)出(Ⅱ)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 解:設(shè),則,

   易得,   即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列” …………………2分

   但因?yàn)?sub>,所以的最大值為2……………………………………4分

(Ⅱ)證明:因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,所以必定是數(shù)列中的項(xiàng),

而是遞增數(shù)列,,

所以必有………………………………6分

 故

, 所以,即……………………………8分

又由定義知,數(shù)列也是“t項(xiàng)可減數(shù)列”(),

所以…………………………………………………………………………… 9分

(Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命題為:已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,若其前項(xiàng)的和滿足

,則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列” ………………………………………10分

該逆命題為真命題…………………………………………………………………………………………11分

理由如下:因?yàn)?sub>,所以當(dāng)時(shí),,兩式相減,

得,即 (*) …………………………12分

則當(dāng)時(shí),有  (**),由(**)－(*),得……………13分

又,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增等差數(shù)列………………………… 14分

設(shè)公差為,則

對(duì)于任意的,……………………………………………15分

因?yàn)?sub>,所以仍是中的項(xiàng),故數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”……16分