Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，
P、Q分別是CC₁、C₁D₁的中點(diǎn)．點(diǎn)P到直線AD₁的距離為

66

4

．
（1）求證：AC∥平面BPQ；
（2）求二面角B-PQ-D的大�。�

Answer 1

分析：先利用P到直線AD₁的距離為

66

4

，計(jì)算棱AD的長(zhǎng)，由與AD⊥DC⊥DD₁，所以以這三條棱為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，（1）先利用線面垂直的判定，求出平面BPQ的法向量

a

，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算證明AC垂直于平面BPQ的法向量，從而AC平行于平面BPQ，（2）先證明平面DPQ的法向量為

DA

，再結(jié)合（1），利用向量夾角公式計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角的余弦值即可的二面角的大小

解答：解：如圖1：設(shè)AD=a，則D到直線AD₁的距離為

AD×DD1

AD1

=

a

a2+1

取DD₁中點(diǎn)M，過(guò)M作MG⊥AD₁，連接PM，PG
則M到直線AD₁的距離MG=

a

2 a2+1

∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD₁A₁
∴AD₁⊥PM，又MG⊥AD₁，
∴AD₁⊥平面PMG
∴PG⊥AD₁
∴PG就是點(diǎn)P到直線AD₁的距離
∴PG=

66

4

在Rt△PMG中，PM²=PG²-MG²，即4=(

66

4

)2-(

a

2 a2+1

)2，
解得a=1，即AD=1
如圖2：建立空間直角坐標(biāo)系
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，

1

2

），Q（0，1，1）
∴

BP

=（-1，1，

1

2

），

PQ

=（0，-1，

1

2

），

AC

=（-1，2，0）
（1）證明：設(shè)平面BPQ的法向量為

a

=（x，y，z）
則

a • BP  =-x+y+ 1 2 ×z=0 a •  PQ =-y+ 1 2 ×z=0

取其法向量為

a

=（2，1，2）
∵

AC

•

a

=-2+2+0=0
∴

AC

⊥

a

，AC?平面BPQ
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量為

DA

=（1，0，0）
由（1）知，平面BPQ的法向量為

a

=（2，1，2）
∴cos＜

DA

，

a

＞=

DA • a

| DA || a |

=

2

1× 9

=

2

3

∴二面角B-PQ-D的大小為arccos

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了點(diǎn)到直線的距離的作法、證法、求法，利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量證明線面平行、計(jì)算二面角的方法