Question

（2009•閔行區(qū)二模）（理）無窮數(shù)列{

1

2n

sin

nπ

2

}的各項(xiàng)和為

2

5

．

Answer 1

分析：首先觀察數(shù)列：bn=sin

nπ

2

的規(guī)律，得到它是一個以4為周期的數(shù)列，而數(shù)列{

1

2n

}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，從而得出{

1

2n

sin

nπ

2

}的化簡后的表達(dá)式，最后用無窮遞縮數(shù)列求和的公式，求出這個各項(xiàng)和．

解答：解：∵a_n=

1

2n

sin

nπ

2

∴a1=

1

2

，a2=0，a3=-

1

2 3

，a4=0，…
依此規(guī)律，數(shù)列{

1

2n

sin

nπ

2

}的偶數(shù)項(xiàng)均為0，
而奇數(shù)項(xiàng)為a2k-1=(-1) k-1

1

2 k

，成等比數(shù)列，公比為-

1

4

所以無窮數(shù)列{

1

2n

sin

nπ

2

}的各項(xiàng)和為：

1

2

+(-

1

2 3

) +

1

2 5

+(-

1

2 7

)+…=

1 2

1-(- 1 4 )

=

2

5

故答案為：

2

5

點(diǎn)評：本題以含有三角函數(shù)的數(shù)列為例，考查了數(shù)列求和與數(shù)列極限等知識點(diǎn)，屬于中檔題．