Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調性；（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁、x₂總有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
試證明：當a=-1時，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數(shù)”．

Answer 1

（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)；…（1分）
由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，…（3分）
當a＞0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；…（4分）
當a＜0時，解f′(x)=

ax+1

x

＞0得0＜x＜-

1

a

，解f'（x）＜0得x＞-

1

a

，
所以函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)上是增函數(shù)，在(-

1

a

，+∞)上是減函數(shù)．…（5分）
綜上，當a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)上是增函數(shù)，在(-

1

a

，+∞)上是減函數(shù)．
（2）當a=-1時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以g(x)=|f(x)|+

1

x

=-f(x)+

1

x

=

1

x

+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）
設x₁，x₂∈（0，+∞），
計算

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(

1

x1

+x1-lnx1+

1

x2

+x2-lnx2)=

x1+x2

2x1x2

+

x1+x2

2

-ln

x1x2

，g(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

+

x1+x2

2

-ln

x1+x2

2

，
因為

x1+x2

2

≥

x1x2

，所以ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，-ln

x1+x2

2

≤-ln

x1x2

，…（8分）

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2(x1+x2)

=

-(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

≤0，所以

2

x1+x2

≤

x1+x2

2x1x2

，…（10分）
所以

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)，即當a=-1時，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數(shù)”．