Question

16．在區(qū)間[0，1]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出函數(shù) f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)（a，b）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，并將其代入幾何概型的計(jì)算公式，進(jìn)行求解．

解答 解：若函數(shù) f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
則f（-1）•f（1）≤0，
即（-$\frac{1}{3}$-a-b）•（$\frac{1}{3}$+a-b）≤0，
即b≤a+$\frac{1}{3}$，
如下圖，滿足條件的（a，b）落在陰影上，
，
∵S_陰影=1-$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{7}{9}$，
故答案為：$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=$\frac{N（A）}{N}$求解．