Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列并求通項a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+1=3S_n+2，知S_n=3S_n-1+2（n≥2），兩式作差可得a_n+1=3a_n（n≥2），然后驗證第二項與第一項的比是否滿足，從而證明{a_n}是等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式解之即可；
（II）根據(jù)數(shù)列{na_n}的特點可知利用錯位相消法進行求和即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
兩式相減得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6則=3
∴=3（n≥1）
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1•a₁+2•a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴ （13分）
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及求和，同時考查了利用錯位相消法求和以及計算能力，屬于中檔題．