Question

如圖，AB是⊙O的直徑 ，AC是弦 ，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E.OE交AD于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若，求的值.

 

Answer 1

 解：（1）證明：連接OD，∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
∴直線DE是⊙O的切線．----------5分

（2）連接BC交OD于G，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，
設(shè)AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，∴四邊形ECGD是矩形，
∵OG為△ABC中位線，∴G為BC中點∴DE=CG=1.5a，∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，∴OG=AC=2a，∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，∴△AEF∽△DOF，∴

                   ----------10分