Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求a，b的值．
（2）證明f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)且f(

1

2

)=

2

5

，建立方程關(guān)系即可求a，b的值．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=b=0．
∵f（

1

2

 ）=

2

5

，
∴a=1
（2）任取x₁，x₂，．使-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₂）-f（x₁）=

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂-1＜0
又∵（x₂²+1）（x₁²+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．