Question

已知關(guān)于x的方程cos²x-sin²x-2sinx+2a+1=0在區(qū)間（0，

π

2

]內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1.1]
• B、（-1，1）
• C、[0，1）
• D、[-1，0）

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于x∈（0，

π

2

]，則0＜t=sinx≤1．由題意可得方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解，函數(shù)f（t）=t²+t的對稱軸為t=-

1

2

，可得f（t）的值域，由0＜a+1≤2，即可得到a的范圍．

解答： 解：方程cos²x-sin²x-2sinx+2a+1=0，
即-2sin²x-2sinx+2a+2=0．
由于x∈（0，

π

2

]，∴0＜t=sinx≤1．
故方程-t²-t+a+1=0 在（0，1]上有解．
即為a+1=t²+t在（0，1]上有解．
二次函數(shù)f（t）=t²+t的對稱軸為t=-

1

2

∉（0，1]，
（0，1]為增區(qū)間，則f（t）∈（0，2]，
由0＜a+1≤2，
解得-1＜a≤1．
故選：A．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．