Question

將4個(gè)小球任意放入3個(gè)盒子中
（1）若小球和盒子均不同，求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球的概率
（2）若小球相同，盒子不同且編號(hào)為甲、乙、丙，求恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的概率
（3）若小球和盒子均相同，求每個(gè)盒子都不空的概率．

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算出4個(gè)小球任意放入3個(gè)盒子中的總的放法，由分步原理可以得出其方法種數(shù)是3×3×3×3=81，應(yīng)將四個(gè)球分為三份，再作一個(gè)全排列；
（2）若小球相同，盒子不同且編號(hào)為甲、乙、丙，由于小球相同，故分組時(shí)小球只有數(shù)量上的不同，可分為四類計(jì)算，若四個(gè)小球放入同一個(gè)盒子，四個(gè)小球分為兩組，四個(gè)小球分為三組，計(jì)算出總的放法，事件“恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球”只有一種，計(jì)算出概率
（3）若小球和盒子均相同，不同放法區(qū)別是小球分法有幾種，由于小球可能四個(gè)在一起，分為兩組分別為（3，1），（2，2），分為三組（2，1，1）共四種分法，即總的放法有四種，每個(gè)例子都不空的放法有一種，由公式計(jì)算出概率

解答：解：（1）若小球和盒子均不同，總的放法有3×3×3×3=81種，要保證每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，可將四個(gè)球分為三份，總的分法有C₄²=6種，然后再將此三份球分別放入三個(gè)盒子，放法有A₃³=6種，故每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球的概率概率是

6×6

81

=

4

9

（2）由于小球相同，盒子不同且編號(hào)為甲、乙、丙，故計(jì)算總的放法可分為四類，若四個(gè)小球放入同一個(gè)盒子，有三種放法，四個(gè)小球分為兩組放入，分法有二，若一組三個(gè)，一組一個(gè)，則放法有A₃³=6種，若分兩組各2個(gè)，由于兩組之間沒(méi)有區(qū)別，故放法有三種，若四球分為三組，則不同放法有三種，故總的放法有3+6+3+3=15種，恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的放法有一種，故恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的概率為

1

15

（3）若小球和盒子均相同，不同放法區(qū)別是小球分法有幾種，由于小球可能四個(gè)在一起，分為兩組分別為（3，1），（2，2），分為三組（2，1，1）共四種分法，即總的放法有四種，每個(gè)例子都不空的放法有一種，故小球和盒子均相同，求每個(gè)盒子都不空的概率是

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，理解題意，由計(jì)數(shù)原理與排列數(shù)組合數(shù)公式求出基本事件數(shù)是解題的關(guān)鍵，本題考查了分類計(jì)數(shù)的技巧，要注意分類做到不重不漏．本題情況較多，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮嚴(yán)謹(jǐn)．