Question

如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為的正方形，AA₁＝，E、F分別是AB₁、CB₁的中點，求證：平面D₁EF⊥平面AB₁C

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖，設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)B1O，交EF于點M． 　　∵AE＝EB1，CF＝FB1， 　　∴EFAC，且M為OB1的中點． 　　又∵AB1＝CB1，O是AC的中點， 　　∴B1O⊥AC． 　　∵EF∥AC，∴B1O⊥EF． 　　在Rt△B1OB中， 　　B1O＝ 　　∴B1M＝B1O＝1． 　　∵四邊形D1DBB1為平行四邊形，D1B1∥DB， 　　∴∠D1B1O＝∠BOB1． 　　∵B1D1＝2＝B1O，B1M＝OB＝1，且∠D1B1M＝∠BOB1，∴△D1B1M≌△B1OB 　　∴∠D1MB1＝∠B1BO． 　　∵∠B1BO＝90°， 　　∴∠D1MB1＝90°． 　　∴B1M⊥D1M，即B1O⊥D1M． 　　∵B1O⊥EF，D1M∩EF＝M， 　　∴B1O⊥平面D1EF． 　　∵B1O平面AB1C， 　　∴平面D1EF⊥平面AB1C 　　思路分析：此題中B1O⊥EF較易得到，而證B1O⊥D1M則通過了較復(fù)雜數(shù)據(jù)的關(guān)系及三角形知識才能完成．平時做題經(jīng)常會遇到此類情況

提示：

要證兩平面垂直，最常用的辦法是證一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另一平面，而線垂直面的證明關(guān)鍵在于找到面內(nèi)有兩條相交直線垂直已知直線．要善于運用題目給出的信息，通過計算挖掘題目的垂直與平行關(guān)系，這是一種非常重要的思想方法，它可以使復(fù)雜問題簡單化．