Question

如圖，在正三棱錐A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H．
（1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（2）設P是棱AD上的點，當AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）先利用AD∥面EFGH?AD∥HG，同理EF∥FG?四邊形EFGH是平行四邊形．再利用AD⊥BC?HG⊥EH?四邊形EFGH是矩形．
（2）作CP⊥AD于P點，連接BP，再由AD⊥BC?AD⊥面BCP，證得HG⊥面BCP?平面PBC⊥平面EFGH．然后在Rt△APC中，求出AP即可．

解答：解：（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HG，AD?面ACD
∴HG∥EF．（2分）
同理EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形（3分）
∵三棱錐A-BCD是正三棱錐，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形（5分）
（2）當AP=

3

2

a時，平面PBC⊥平面EFGH．（7分）
證明如下：
作CP⊥AD于P點，連接BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP（10分）
∵HG∥AD，
∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH?面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a，
∴AP=

3

2

a（12分）

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．