【題目】如圖，正方形中， ， 與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐， ， 分別是， 的中點(diǎn).

(1)求證： ；

(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時，求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊前幾何關(guān)系得， ，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得；（2）先確定三棱錐的取最大體積的條件：三棱錐的高為，再根據(jù)三棱錐體積公式得三棱錐的體積為時條件： 平面，最后根據(jù)等體積法求三棱錐的體積.

試題解析：(1)依題意易知， ， ，∴平面，

又∵平面，∴.

(2)當(dāng)體積最大時三棱錐的高為，當(dāng)體積為時，高為，

中， ，作于，∴，∴，

∴為等邊三角形，∴與重合，即平面，

易知.

∵平面，∴，∴，

∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖， ， 為中點(diǎn)，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由.

（3）估計居民月用水量的中位數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額如下表：

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額y/百萬元

2

3

3

4

5

（1）畫出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖，說明兩個變量是否線性相關(guān)；

（2）用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程；

（3）當(dāng)銷售額為4千萬元時，估計利潤額的大小.

（參考公式：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】墻上有一壁畫，最高點(diǎn)處離地面米，最低點(diǎn)處離地面米，距離墻米處設(shè)有防護(hù)欄，觀察者從離地面高米的處觀賞它.

（1）當(dāng)時，觀察者離墻多遠(yuǎn)時，視角最大？

（2）若，視角的正切值恒為，觀察者離墻的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在圓內(nèi)有一點(diǎn),為圓上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程．

（Ⅱ）若動直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(無需證明) ；

（Ⅲ）若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的二階不動點(diǎn)，求函數(shù)的二階不動點(diǎn)的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度，某電視臺在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查，得分統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：

（1）計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分；

（2）計算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差；

（3）若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進(jìn)行深入調(diào)研，求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間的一臺機(jī)床生產(chǎn)出一批零件，現(xiàn)從中抽取8件，將其編為， ，…， ，測量其長度（單位： ），得到下表中數(shù)據(jù)：

編號

長度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

（1）從上述8個零件中，隨機(jī)抽取一個，求這個零件為一等品的概率；

（2）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個.

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2個零件長度相等的概率.

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