如圖,四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,O是AC與BD的交點,SO⊥平面ABCD,E是側棱SC的中點,直線SA和AO所成角的大小是45°.
(1)求證:直線SA∥平面BDE;
(2)求直線BD與平面SBC所成角的正弦值.
考點:直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)連接EO,由題設條件推導出EO是△ASC的中位線,由此能夠證明直線SA∥平面BDE.
(2)過點O作CB的平行線作x軸,過O作AB的平行線作y軸,以OS為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能夠求出直線BD與平面SBC所成角的正弦值.
解答: 解:(1)連接OE,

∵四邊形ABCD是正方形,
∴O是AC的中點.
又∵E是側棱SC的中點,
∴OE∥SA.
又OE?平面BDE,SA?平面BDE,
∴直線SA∥平面BDE.…(4分)
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(0,-2
2
,0),B(0,2
2
,0),S(0,0,2
2
),C(-2
2
,0,0).
BD
=(0,-4
2
,0),
BC
=(-2
2
,-2
2
,0),
SB
=(0,2
2
,-2
2
).
設平面SBC的法向量為n=(x,y,1),
則有
n•
SB
=0
n•
BC
=0
2
2
y-2
2
=0
-2
2
x-2
2
y=0

解得
y=1
x=-1
∴n=(-1,1,1).…(9分)
直線BD與平面SBC所成的角記為θ,
則sin θ=|
n•
BD
|n||
BD
|
|
=
4
2
3
×4
2
=
3
3
.…(12分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
(
3
2
)x,x≥0
2x,x<0
,若對任意x∈[-1-m,m-1],不等式f(
2
x-m)≥[f(x)]3恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
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學校從參加高一年級期中考試的學生中抽出50名學生,并統(tǒng)計了他們的數(shù)學成績(成績均為整數(shù)且滿分為100分),數(shù)學成績分組及各組頻數(shù)如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],4.
(1)在給出的樣本頻率分布表中,求A,B,C,D的值;
(2)估計成績在80分以上(含80分)學生的比例;
(3)為了幫助成績差的學生提高數(shù)學成績,學校決定成立“二幫一”小組,即從成績在[90,100]的學生中選兩位同學,共同幫助成績在[40,50)中的某一位同學.已知甲同學的成績?yōu)?2分,乙同學的成績?yōu)?5分,求甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率.
樣本頻率分布表:
分組 頻數(shù) 頻率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 14 0.28
[70,80) 15 0.30
[80,90) A B
[90,100] 4 0.08
合計 C D

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知復數(shù)Z滿足 (1+2i)Z=4+3i,求Z及|Z|(i是虛數(shù)單位)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖已知圓錐SO的底面半徑為4,母線長為8,三角形SAB是圓錐的一個軸截面,D是SA上的一點,且SD=
8
3
3
.動點M從點B出發(fā)沿著圓錐的側面運動到達點D,當其運動路程最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示.將軸截面SAB繞著軸SO逆時針旋轉θ(0<θ<π)后,母線SB1與曲線Γ相交于點P.
(Ⅰ)若θ=
π
2
,證明:平面A1B1P⊥平面ABP;
(Ⅱ)若θ=
3
,求二面角B1-AB-P的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log2x與函數(shù)y=g(x)的圖象關于x=1對稱.
(1)求g(x)的解析式,并求其定義域;
(2)若關于x的不等式f(x)+g(x)<log2(x2-2ax+2a+4)(a∈R)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知:直三棱柱ABC-DEF中,AB=
2
,BC=1,BE=2,AB⊥平面BCFE,M是CF的中點.
(1)證明:AM⊥ME.
(2)求二面角A-ME-B的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若csinC-asinA=b(sinB-sinA),c=2.
(Ⅰ)若△ABC的面積為
2
3
3
,求a,b的值;
(Ⅱ)設△ABC的周長為y,試求函數(shù)y=f(A)的定義域和最大值.

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