Question

5．已知函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），寫出它的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z，對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z；對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z，在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域[-$\sqrt{3}$，2]，在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1的解集為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z，將y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右移動m個單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小正值是$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、定義域和值域、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得結(jié)果．

解答 解：對于函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得它的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得它的對稱軸方程為 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得它的對稱點(diǎn)為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z．
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，故f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，即函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．
令2kπ$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得它的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈z；可得它區(qū)間[0，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]．
由y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
可得不等式y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1的解集為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．
將y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右移動m個單位得到的函數(shù)y=2sin[2（x-m）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-2m+$\frac{π}{3}$）的圖象，
再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得-2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得則m的最小正值是$\frac{5π}{12}$．
故答案為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z； x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z； （$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z；[-$\sqrt{3}$，2]；[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]；
[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z；$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、定義域和值域、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．