Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，對(duì)任意n∈N^*，滿足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

1

Sn

．

Answer 1

（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，對(duì)任意n∈N^*，滿足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
所以（1-r）S_n-1=1-a_n，所以（1-r）a_n=-a_n+1+a_n，
所以

an+1

an

=r，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)以r為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知，a_n=r^n-1．
又b_n=a_2n-1+a_2n，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=

2n    r=1 1-r2n 1-r      r≠1

，
當(dāng)1＞r＞0時(shí)，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=1-r．
當(dāng)r=1時(shí)

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

2n

=0；
當(dāng)r＞1時(shí)，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=0．