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14.如圖,已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,EA⊥平面ABCD,F(xiàn)C∥EA,設(shè)EA=1,F(xiàn)C=2.
(1)證明:EF⊥BD;
(2)求多面體ABCDEF的體積.

分析 (1)由地面ABCD是正方形,可得BD⊥AC,又EA⊥平面ABCD,可得BD⊥EA,然后利用線面垂直的判定得BD⊥平面EACF,最后可得EF⊥BD;
(2)把多面體ABCDEF的體積轉(zhuǎn)化為2倍的棱錐B-ACFE的體積求解.

解答 (1)證明:∵ABCD是正方形,
∴BD⊥AC,
∵EA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴BD⊥EA,
∵EA、AC?平面EACF,EA∩AC=A,
∴BD⊥平面EACF,
又∵EF?平面EACF,
∴EF⊥BD;
(2)解:∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
∴AC=22,
又EA=1,F(xiàn)C=2,
SACEF=121+222=32,
VABCDEF=2VBACEF=2×13×SACEF×BD2=4

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì),考查了多面體體積的求法,訓(xùn)練了等積法,是中檔題.

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