【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）當時，若對任意，都有成立，求的最大值.

【答案】（1）的單調遞增區(qū)間為， ，單調遞減區(qū)間為;（2）.

【解析】試題分析：（1）當時，代入函數(shù)，求 ， 是函數(shù)的增區(qū)間， 是函數(shù)的減區(qū)間；（2）當成立，整理為 ，設 ，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，求整數(shù)的最大值.

試題解析：（1）解：由題意可知函數(shù)的定義域為.

當時， ，

.

①當或時， ， 單調遞增.

②當時， ， 單調遞減.

綜上， 的單調遞增區(qū)間為， ，單調遞減區(qū)間為.

（2）由，得，

整理得，

∵，∴.

令，則.

令，∵，∴.

∴在上遞增， ，

∴存在唯一的零點.

∴，得.

當時， ，

∴在上遞減；

當時， ，

∴在上遞增.

∴，

要使對任意恒成立，只需.

又，且，∴的最大值為.

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