Question

在科普知識競賽前的培訓(xùn)活動中，將甲、乙兩名學(xué)生的6次培訓(xùn)成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖：
（Ⅰ）若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇1人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學(xué)的知識說明理由；
（Ⅱ）若從學(xué)生甲的6次培訓(xùn)成績中隨機選擇2個，記選到的分數(shù)超過87分的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）分別求出從甲、乙兩名學(xué)生中的平均成績和方差，得到甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，則乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故應(yīng)選擇學(xué)生乙參加知識競賽．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）學(xué)生甲的平均成績

.

x

甲   =

68+76+79+86+88+95

6

=82，
學(xué)生乙的平均成績

.

x

乙=

71+75+82+84+86+94

6

=82，
又S²_甲=

1

6

[（68-82）²+（76-82）²+（79-82）²+（86-82）²+（88-82）²+（95-82）²]=77，
S²_乙=

1

6

[（71-82）²+（75-82）²+（82-82）²+（84-82）²+（86-82）²+（94-82）²]=

167

3

，
則

.

x

甲=

.

x

乙，S²_甲＞S²_乙，
說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，則乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故應(yīng)選擇學(xué)生乙參加知識競賽．（6分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，
則P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

所以數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．（12分）

點評：本題考查平均數(shù)和方差的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．