Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線l的斜率的取值范圍。

Answer 1

解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為 焦距為2c，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程式為。

（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)， 顯然直線l的斜率k存在， 所以直線l的方程為， 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為， 線段MN的中點(diǎn)G 由得① 由 解得， ② 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111124/20111124095456468900.gif">是方程①的兩根， 所以 于是= 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111124/20111124095456562878.gif">≤0 所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊 直線，方程分別為 所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 ， 即， 亦即 解得，此時(shí)②也成立； 故直線l斜率的取值范圍是[，）。