【題目】函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(x)>0恒成立,若對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x﹣y)= ,
(1)求f(0)的值,并證明對(duì)任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y);
(2)若f(﹣1)=3,解不等式 ≤9.
【答案】
(1)解:令x=0,y=0得f(0)= =1,
∴f(0)=1
令x=a+b,y=b,則x﹣y=a,
又∵f(x﹣y)= ,
∴f(a+b)=f(a)f(b)
∴f(x+y)=f(x)f(y)
(2)解:由(1)知f(x2)f(10)=f(x2+10),
∴ = =f(x2﹣7x+10),
又∵f(﹣1)=3,∴9=3×3=f(﹣1)×f(﹣1)=f(﹣2)
又∵ ≤9.
∴f(x2﹣7x+10)≤f(﹣2)
又∵f(x)在R上單調(diào)遞減,
∴x2﹣7x+10≥﹣2
解得:x≤3或x≥4,即原不等式的解集為(﹣∞,3)∪(4,+∞)
【解析】(1)利用賦值法結(jié)合條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解證明即可.(2)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x+1,g(x)= ﹣1
B.f(x)=|x|,g(x)=( )2
C.f(x)=2log2x,g(x)=log2x2
D.f(x)=x,g(x)=log22x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)滿足,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)≥x,且當(dāng)x∈(1,3)時(shí),有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)證明:f(2)=2;
(2)若f(﹣2)=0,求f(x)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)g(x)=f(x)﹣ x,x∈[0,+∞),若g(x)圖象上的點(diǎn)都位于直線y= 的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2m)(x+m+3)(其中m<﹣1),g(x)=2x﹣2.
(1)若命題p:log2[g(x)]≥1是假命題.求x的取值范圍;
(2)若命題q:x∈(﹣∞,3).命題r:x滿足f(x)<0或g(x)<0為真命題.¬r是¬q的必要不充分條件,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示是一個(gè)算法程序框圖,在集合, 中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值作為輸入,則輸出的的值落在區(qū)間內(nèi)的概率為
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解答題
(1)設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足(x﹣3a)(x﹣a)<0,其中a>0,q:實(shí)數(shù)x滿足 ,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)命題p:“函數(shù) 無(wú)極值”;命題q:“方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”,若p或q為真命題,p且q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)= ,
(1)在下列直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象;
(2)若f(x)=3,求x的值;
(3)看圖象寫出函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓錐和圓柱的組合體(它們的底面重合),圓錐的底面圓半徑為, 為圓錐的母線, 為圓柱的母線, 為下底面圓上的兩點(diǎn),且, , .
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),設(shè)為該圓的圓心,并且線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, ,點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線分別交(1)中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)(四點(diǎn)互不相同),證明:直線恒過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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