Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且

OP

⊥

OQ

（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：

1

a2

+

1

b2

等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率e∈[

3

3

，

2

2

]時，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：

b2x2+a2y2=a2b2 x+y-1=0

消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
由

OP

•

OQ

=0，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化簡得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
則

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
即a²+b²=2a²b²，故

1

a2

+

1

b2

=2
（Ⅱ）由e=

c

a

，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2
化簡得a2=

2-e2

2(1-e2)

=

1

2

+

1

2(1-e2)

由e∈[

3

3

，

2

2

]得a2∈[

5

4

，

3

2

]，
即a∈[

5

2

，

6

2

]
故橢圓的長軸長的取值范圍是[

5

，

6

]．