Question

（2013•閔行區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，AA₁=6，點(diǎn)E、F分別在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求三棱錐A₁-B₁C₁F的體積；
（2）求異面直線BE與A₁F所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的性質(zhì)，及三棱錐A₁-B₁C₁F的體積=VF-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1×FC1即可得出．
（2）連接EC，∵A₁E∥FC，A₁E=FC=4，可得四邊形A₁ECF是平行四邊形，利用其性質(zhì)可得A₁C∥EC，可得∠BEC是異面直線A₁F與BE所成的角或其補(bǔ)角，在△BCE中求出即可．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，F(xiàn)C₁⊥平面A₁B₁C₁，故FC₁=2是三棱錐A₁-B₁C₁F的高．
而直角三角形的S△A1B1C1=

1

2

A1B1×A1C1=

1

2

×2×2=2．
∴三棱錐A₁-B₁C₁F的體積=VF-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1×FC1=

1

3

×2×2=

4

3

．
（2）連接EC，∵A₁E∥FC，A₁E=FC=4，
∴四邊形A₁ECF是平行四邊形，
∴A₁C∥EC，
∴∠BEC是異面直線A₁F與BE所成的角或其補(bǔ)角．
∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2

2

．
∴△BCE是等邊三角形．
∴∠BEC=60°，即為異面直線BE與A₁F所成的角．

點(diǎn)評(píng)：熟練利用直三棱柱的性質(zhì)、三棱錐的體積及等體積變形、平行四邊形的判定及性質(zhì)、異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵．