Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求曲線f（x）過點（1，0）的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3（x2﹣2），

令f'（x）=0，得 ，

∴當 或 時，f'（x）＞0；

當 時，f'（x）＜0，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，

單調(diào)遞減區(qū)間是 ；

當x=﹣ ，f（x）有極大值5+4 ；當x= ，f（x）有極小值5﹣4

（2）解：設切點為（m，n），

則切線的斜率為3（m2﹣2），

切線的方程為y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），

代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），

化為（m﹣1）2（2m+1）=0，

解得m=1或m=﹣ ，

則斜率為﹣3或﹣ ，

可得切線的方程為y=﹣3x+3或y=﹣ x+

【解析】（1）求導f（x）導數(shù)，可得極值點，導數(shù)大于0可得增區(qū)間；導數(shù)小于0可得減區(qū)間；進而得到極值；（2）設切點為（m，n），可得切線的斜率，切線方程，代入（1，0），解方程可得切點，進而得到所求切線方程．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．