Question

5．在無窮數(shù)列{a_n}中，a₁=p是正整數(shù)，且滿足${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{2}，當{a_n}為偶數(shù)\\{a_n}+5，當{a_n}為奇數(shù).\end{array}\right.$
（Ⅰ）當a₃=9時，給出p的值；（結(jié)論不要求證明）
（Ⅱ）設(shè)p=7，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S₁₅₀；
（Ⅲ）如果存在m∈N^*，使得a_m=1，求出符合條件的p的所有值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分段數(shù)列，推斷計算即可得到所求p的值；
（Ⅱ）由題意可得數(shù)列{a_n}中的項，從第三項起每隔6項重復(fù)一次，即可得到所求和；
（Ⅲ）由數(shù)列{a_n}的定義，知${a_n}∈{N^*}$．設(shè)t為數(shù)列{a_n}中最小的數(shù)，即$t=min\{{a_i}\left|{i∈{{N}^*}}\right.\}$，推得t∈{1，3，5}．分別討論t=3，5，1，推理，即可得到符合條件的p值的集合．

解答 解：（Ⅰ）p=36，或13．
（Ⅱ）由題意，a₁=7，
代入，得a₂=12，a₃=6，a₄=3，a₅=8，a₆=4，a₇=2，a₈=1，a₉=6，…
所以數(shù)列{a_n}中的項，從第三項起每隔6項重復(fù)一次（注：a₃=a₉），
故S₁₅₀=a₁+a₂+24（a₃+a₄+…+a₈）+a₃+a₄+a₅+a₆
=7+12+24（6+3+8+4+2+1）+6+3+8+4=616．
（Ⅲ）由數(shù)列{a_n}的定義，知${a_n}∈{N^*}$．
設(shè)t為數(shù)列{a_n}中最小的數(shù)，即$t=min\{{a_i}\left|{i∈{{N}^*}}\right.\}$，
又因為當a_n為偶數(shù)時，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{2}$，
所以t必為奇數(shù)．
設(shè)a_k=t，則a_k+1=t+5，${a_{k+2}}=\frac{t+5}{2}$，
所以$t≤\frac{t+5}{2}$，解得t≤5．
所以t∈{1，3，5}．
如果a_k=t=3，
那么由數(shù)列{a_n}的定義，得a_k+1=8，a_k+2=4，a_k+3=2，a_k+4=1，
這顯然與t=3為{a_n}中最小的數(shù)矛盾，
所以t≠3．
如果a_k=t=5，
當k=1時，p=5；
當k≥2時，由數(shù)列{a_n}的定義，得a_k-1能被5整除，…，得a₁=p被5整除；
所以當且僅當${a_1}=p=5r（r∈{N^*}）$時，t=5．
這與題意不符．
所以當${a_1}≠5r（r∈{N^*}）$時，數(shù)列{a_n}中最小的數(shù)t=1，
即符合條件的p值的集合是{r|r∈N^*，且r不能被5整除}．

點評 本題考查分段數(shù)列的應(yīng)用：求值及求和，注意運用數(shù)列的周期性，考查分類討論的思想方法，以及分析問題和解決問題的能力，屬于難題．