Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）找出函數(shù)f（x）解析式中的ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出2x+

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得2x+

π

4

為

π

2

時(shí)，f（x）取得最大值，當(dāng)2x+

π

4

為-

π

4

時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，分別求出最大值和最小值即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

ω

=π，（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；（7分）
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，（2x+

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，（9分）
故當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）有最大值

2

，（11分）
當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）有最小值-1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．