Question

如圖，向量

a

、

b

、

c

有公共起點(diǎn)，且滿足

c

=

λa

+

μb

（λ，μ∈R）．
證明三個(gè)向量的終點(diǎn)在一直線上的充要條件是λ+μ=1．

Answer 1

分析：從充分性和必要性倆方面證明，要證A、B、C三點(diǎn)共線，只需證明

AB

∥

AC

即可，利用向量的共線定理

解答：證明：（充分性）∵λ+μ=1∴λ=1-μ∴

c

=(1-μ)

a

+μ

b

即

c

-

a

=μ(

b

-

a

)即

AC

=μ

AB

即

AC

∥

AB

又A點(diǎn)為公共點(diǎn)∴A、B、C三點(diǎn)共線
（必要性）∵A、B、C三點(diǎn)共線∴

AC

∥

AB

∴

AC

=μ

AB

即

c

-

a

=μ(

b

-

a

)即

c

=(1-μ)

a

+μ

b

又

c

=λ

a

+μ

b

∴λ=1-μ即λ+μ=1
綜上，原命題得證．

點(diǎn)評：本題考查利用向量的共線定理證明三點(diǎn)共線以及充要性的證明方法，難度不大．