Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（ax+ ）+ ．
（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為1？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）求導(dǎo)：f'（x）= ﹣ ；

∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；

即： ≥ ；

∵a＞0，x＞0；

∴ ≤x2+ ；

故x2+ 在x＞0上最小值為 ；

所以： ≤ ；

解得：a≥2

（2）解：假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+ ）+ ≥1；

ln（a+ ）≥ ＞0=ln1，解得a＞ ；

從而這樣的實數(shù)a必須為正實數(shù)，當(dāng)a≥2時，由上面的討論知f（x）在（0，+∞）上遞增．

f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此時不合題意，故這樣的a必須滿足0＜a＜2；

此時：f'（x）＞0得f（x）的增區(qū)間為（ ）；令f'（x）＜0得f（x）的減區(qū)間為（0， ）；

故f（x）min=f（ ）=ln（a + ）+ =1；

整理即：ln（ ）﹣ =0；

ln（ ）﹣ =0；

設(shè)t= ∈（ ，1]；

則上式即為lnt﹣ =0，構(gòu)造g（t）=lnt﹣ ，則等價于g（t）=0；

由于y=lnt為增函數(shù)，y= 為減函數(shù)，故g（t）為增函數(shù)；

觀察知g（1）=0，故g（t）=0等價于t=1，與之對應(yīng)的a=1，

綜上符合條件的實數(shù)a是存在的，即a=1

【解析】（1）首先對f（x）求導(dǎo)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分離參數(shù)法求出a的范圍；（2）利用反證法假設(shè)a存在，則f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞ ；利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)f（x）min=1時，可求出參數(shù)a的值；
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．