Question

19．設(shè)函數(shù)y=-x²+l的切線l與x軸，y軸的交點分別為A，B，O為坐標原點，則△OAB的面積的最小值為$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)切點為P（（m，-m²+1），不妨設(shè)m＞0．
切線方程為：y-（-m²+1）=-2m（x-m），則|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m²+1，
則△OAB的面積s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
設(shè)f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），則f′（m）=3m²+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，為△OAB的面積的最小值

解答 解：設(shè)切點為P（（m，-m²+1），因為函數(shù)y=-x²+l的圖象關(guān)于y軸對稱，不妨設(shè)m＞0
∵y′=-2x，∴切線的斜率k=-2m
切線方程為：y-（-m²+1）=-2m（x-m），即2mx+y-m²-1=0
令x=0，則y=m²+1，令y=0，則x=$\frac{{m}^{2}+1}{2m}$
故|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m²+1，
則△OAB的面積s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
設(shè)f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），則f′（m）=3m²+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，則△OAB的面積的最小值為$\frac{1}{4}×\frac{16}{9}\sqrt{3}=\frac{4}{9}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求最值，屬于中檔題．