Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

an+1+an-1

an+1-an+1

=n(n∈N*)，且a₂=6．
（1）設(shè)bn=

an

n(n-1)

(n≥2)，b1=3，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)un=

an

n+c

(n∈N*)，c為非零常數(shù)，若數(shù)列{u_n}是等差數(shù)列，記cn=

un

2n

，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)bn=

an

n(n-1)

(n≥2)，可將

an+1+an-1

an+1-an+1

=n(n∈N*)化成

an+1

(n+1)n

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

，然后利用疊加法可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)，而c為非零常數(shù)，可求出c的值，從而求出{c_n}的通項(xiàng)，最后利用錯(cuò)位相消法可求出S_n．

解答：解：（1）∵

an+1+an-1

an+1-an+1

=n(n∈N*)，
∴（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-（n+1）
當(dāng)n≥2時(shí)，

an+1

(n+1)n

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

而bn=

an

n(n-1)

(n≥2)
∴b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

（n≥2）
∵a₂=6∴b₂=

a2

2

=

6

2

=3
∵b₃-b₂=

1

2

-1
b₄-b₃=

1

3

-

1

2

…
b_n-b_n-1=

1

n-1

-

1

n-2

（n≥3）
將這些式子相加得b_n-b₂=

1

n-1

-1
∴b_n=

1

n-1

+2（n≥3）
b₂=3也滿足上式，b₁=3不滿上式
∴bn=

3，n=1 2+ 1 n-1 ，n＞1

（2）

an+1+an-1

an+1-an+1

=n(n∈N*)，令n=1得a₁=1
∵bn=

an

n(n-1)

(n≥2)
∴a_n=2n²-n（n≥2）
而a₁=1也滿足上式
∴a_n=2n²-n
∵un=

an

n+c

(n∈N*)，數(shù)列{u_n}是等差數(shù)列
∴un=

an

n+c

=

n(2n-1)

n+c

是關(guān)于n的一次函數(shù)，而c為非零常數(shù)
∴c=-

1

2

，u_n=2n
∴cn=

un

2n

=

2n

2n

，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×

1

2

+4×(

1

2

)2+…+2n×(

1

2

)n

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+2n×(

1

2

)n+1
兩式作差得

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n-2n×(

1

2

)n+1
∴Sn=4-

n+2

2n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的求和，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，是一道綜合題．