Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P₁，P₂分別為曲線C₁、C₂上的兩個動點，求線段P₁P₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosα，sinα，根據(jù)cos²α+sin²α=1得出曲線C₁的普通方程，利用和角公式將ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展開，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出P₁到直線C₂的距離d，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出d的最小值即線段P₁P₂的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），∴cosα=$\frac{x}{2}$，sinα=$\frac{y}{\sqrt{2}}$，
∵cos²α+sin²α=1，∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．即曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=3$\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=6，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0．
（2）設(shè)P₁（2cosα，$\sqrt{2}$sinα），則P₁到直線C₂的距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{2}sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{6}sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)sin（θ+φ）=1時，d取得最小值$\frac{6-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．
∴線段P₁P₂的最小值為3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．