Question

下面有關(guān)四面體的命題：
①每一個(gè)四面體都有唯一的外接球；
②每一個(gè)四面體都有唯一的內(nèi)切球；
③每一個(gè)四面體都有唯一的與其六條棱都相切的球；
④任何一個(gè)三棱柱都可以分解成三個(gè)等體積的四面體；
⑤對(duì)任意一個(gè)四面體，存在一個(gè)頂點(diǎn)，使得從該點(diǎn)出發(fā)的三條棱作為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形．
其中正確命題的序號(hào)是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：對(duì)于①②，四面體一定有外接球和內(nèi)切球，進(jìn)行判斷即可；對(duì)于③通過(guò)舉反例得出“每一個(gè)四面體都有唯一的與其六條棱都相切的球”不成立；對(duì)于④分離的方法是分離出兩個(gè)以棱柱的兩底為底的三棱錐剩下的部分也是一個(gè)三棱錐，其底面是一個(gè)側(cè)面．對(duì)于⑤，可利用反證法進(jìn)行證明．

解答：解：四面體一定有外接球和內(nèi)切球，故①②都是真命題；
對(duì)于③，如圖，若四面體中DA，DB，DC兩兩垂直，有一個(gè)球先與此三棱相切，再將此球的半徑慢慢變大，直到與棱AB也相切，此時(shí)，該球不能與另兩條側(cè)棱AC，BC相切．故③不正確；
對(duì)于④：
如右圖直三棱柱ABC-A′B′C′，連接A′B，B'C，CA′．
則截面A′CB與面A′CB′，將直三棱柱分割成三個(gè)三棱錐即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′，且它的體積相等．故④正確；
對(duì)于⑤，利用反證法證明．
假設(shè)任意頂點(diǎn)的3條棱都不構(gòu)成三角形，
設(shè)四面體ABCD最長(zhǎng)邊為AB=a，
設(shè)其鄰邊BC=b，BD=c，AD=d，AC=e
則由假設(shè)與AB的最長(zhǎng)性質(zhì)可知：a≥d+e（過(guò)頂點(diǎn)A），a≥b+c（過(guò)頂點(diǎn)B）
于是2a≥b+c+d+e，而由AB，BC，AC構(gòu)成三角形知a＜b+e，
AB，BD，AD構(gòu)成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e 矛盾！所以命題成立！故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基本知識(shí)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．