已知函數(shù)f(x)=
12
ax2-(2a+1)x+2lnx.(a∈R)
;
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=x2-2x,是否存在實數(shù)a,對?x1∈(0,2],?x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)均成立;若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),利用曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線平行,可求a的值;
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間),對于本題的在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況;
(3)由題意可知f(x)的最大值小于g(x)的最大值,然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得到g(x)的最小值,再根據(jù)(2)求出的f(x)的單調(diào)區(qū)間,即可求出f(x)的最大值,進而列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范圍.
解答:解:(1)f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x

∵曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線平行
∴f′(1)=f′(3)
a=
2
3

(2)函數(shù)的定義域為(0,+∞),f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x
=
(x-2)(ax-1)
x

當(dāng)a=0時,單調(diào)減區(qū)間為(0,2),單調(diào)增區(qū)間為(2,+∞);
當(dāng)0<a<
1
2
時,單調(diào)減區(qū)間為(2,
1
a
),單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(
1
a
,+∞);
當(dāng)a=
1
2
時,單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a<0或a>
1
2
時,單調(diào)增區(qū)間為(0,
1
a
),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(
1
a
,2);
(3)由已知,轉(zhuǎn)化為f(x)max<g(x)max
由x∈(0,2],得到g(x)max=g(2)=0,
當(dāng)a≤
1
2
時,f(x)在(0,2]單調(diào)遞增,此時f(x)max=f(2)=-2a-2+2ln2,
∴-2a-2+2ln2<0
ln2-1<a≤
1
2
,
當(dāng)a>
1
2
時,f(x)在(0,
1
a
)上遞增,在(
1
a
,2)上單調(diào)遞減;
∴f(x)max=f(
1
a
)=-2-
1
2a
-2lna,則-2-
1
2a
-2lna<0恒成立
即只需a>
1
2
即可(∵lna>ln
1
2
>ln
1
e
=-1
,∴-2-2lna<0)
綜上可知,存在實數(shù)a滿足條件,a的范圍(ln2-1,+∞)
點評:本題考查的重點是導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查恒成立問題,解題的難點是題意的理解與轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案