Question

已知{ a_n}是等差數(shù)列，{ b_n}是等比數(shù)列，S_n是{ a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=b₁=1，S₂=

12

b2

．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)，求a_n與b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{ban}是公比為9的等比數(shù)列，求證：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

分析：求解本題，宜先將S₂=

12

b2

化簡(jiǎn)用首項(xiàng)與公差、公比表示出來
（Ⅰ）b₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)，由此可以得到2b₂=a₁+a₃，將其與S₂=

12

b2

聯(lián)立即可求得兩數(shù)列的公差與公比，由通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)即可．
（Ⅱ）由{ban}是公比為9的等比數(shù)列，引入公比q，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．與S₂=

12

b2

結(jié)合可得q=

12

2+d

．再由a_n∈N^*，知d是正整數(shù)，再結(jié)合q^d=3²．對(duì)d，q的值進(jìn)行判斷，驗(yàn)證即得d，q的值，由此S_n可求出，求出其倒數(shù)，利用放縮法將其倒數(shù)變?yōu)榭梢粤秧?xiàng)的形式，將前n項(xiàng)的和的倒數(shù)放大即可證明不等式．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}公比為q．
（Ⅰ）∵S₂=

12

b2

，∴a₁+a₁+d=

12

b1q

，，而a₁=b₁=1，則q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
聯(lián)立①，②，解得

d=2 q=3

或

d=-5 q=-4

（4分）
所以a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）∵a_n∈N^*，ban=b₁qan-1=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=

12

2+d

．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d為正整數(shù)，從而根據(jù)①②知q＞1且q也為正整數(shù)，
∴d可為1或2或4，但同時(shí)滿足①②兩個(gè)等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．（10分）
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n≥2）．
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+2（

1

3

-

1

5

）+2（

1

5

-

1

7

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=1+2[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

5

3

-

1

2n+1

＜

5

3

．
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立．
故n∈N^*，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

5

3

．（14分）
思路2或者和文科題的解法相同，前兩項(xiàng)不變，從第三項(xiàng)

1

32

開始縮小：
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

4

+

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=1+

1

4

+

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

）
=

5

3

-

1

n

-

1

n+1

＜

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查了根據(jù)題設(shè)中的條件建立方程求數(shù)列的通項(xiàng)以及用放縮法與裂項(xiàng)求和的技巧證明不等式，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題過程中有兩點(diǎn)比較關(guān)鍵，一是根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)是正整數(shù)判斷出公差與公比的值，一是由放縮法將前n項(xiàng)的倒數(shù)和進(jìn)行放大為可以裂項(xiàng)的形式，題后應(yīng)對(duì)這兩點(diǎn)好好總結(jié)．