Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，，，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面∥平面；

（2）若，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由題可知，，結(jié)合為正三角形，進(jìn)而證得，利用面面平行的判定定理，即可證明：平面∥平面；

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，通過線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可證出平面，建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法求出空間異面直線的夾角的余弦值.

（1）如圖，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，平面，∴平面；

又，，所以為正三角形，

又，，所以，，

又，所以，∴平面

因?yàn)?/span>，

所以平面平面．

（2）如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>，，

所以為正三角形，所以，

又因?yàn)?/span>為等腰三角形，所以，

所以三點(diǎn)共線，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，，

所以，所以，，

又，所以，

所以，又，所以平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

設(shè)異面直線與所成角為，

所以．

所以異面直線與所成角的余弦值為．