Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求a值．
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，建立方程，即可求a的值；
（2）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-

2

x2

+

a

x

，則f′（1）=-2+a
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，
∴切線的斜率為-1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=

2

x

+lnx-2
則g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．
又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

解得1＜b≤

2

e

+e-1．
所以b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意求出函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力和分析問題的能力．