Question

當(dāng)x∈（1，2）時，不等式x-1＜log_ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：作差構(gòu)造新函數(shù)f（x）=log_ax-x+1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值證明不等式恒成立，從而求出a的取值范圍．

解答：解：∵x-1＜log_ax在（1，2）上恒成立
∴l(xiāng)og_ax-x+1＞0在（1，2）上恒成立
令f（x）=log_ax-x+1
f′（x）=

1

xlna

-1
令f′（x）=

1

xlna

-1=0解得x=

1

lna

當(dāng)0＜a＜1時，f′（x）＜0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，則log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時a無解
當(dāng)1＜a≤

e

時

1

lna

≥2，f′（x）＞0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，則log_a1-1+1≥0，此時1＜a≤

e

當(dāng)

e

＜a＜e時1＜

1

lna

＜2，
則函數(shù)f（x）在（1，

1

lna

）上單調(diào)遞增，在（

1

lna

，2）上單調(diào)遞減，log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時

e

＜a≤2
當(dāng)a≥e時0＜

1

lna

≤1，f′（x）＜0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，則log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時a無解
綜上所述：1＜a≤2

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．