Question

【題目】如圖，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D為棱AC的中點(diǎn)，側(cè)面A1ACC1為邊長(zhǎng)為2的菱形，AC⊥CB，BC=1．

（1）證明：AC1⊥平面A1BC；
（2）求三棱錐B﹣A1B1C的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A1D⊥平面ABC，1D平面A1ACC1，

∴平面1ACC1⊥平面ABC，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，CA⊥CB，CB平面ABC，

∴BC⊥平面A1ACC1，∵AC1平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵側(cè)面A1ACC1為菱形，∴A1C⊥AC1，

又∵A1C平面A1BC，BC平面A1BC，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，

（2）解：∵AD=1，A1A=2，∴A1D= ．

∴ =S△ABCA1D= = ．

= = S△ABCA1D= ，

∴ = ﹣ ﹣ = ．

【解析】（1）由A1D⊥平面ABC得平面1ACC1⊥平面ABC，于是BC⊥平面A1ACC1 ， 推出BC⊥AC1 ， 由菱形的性質(zhì)可知A1C⊥AC1 ， 于是AC1⊥平面A1BC．（2）三棱錐B﹣A1B1C的體積等于三棱柱的體積減去兩個(gè)棱錐的體積．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線(xiàn)與平面垂直的判定，需要了解一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案．