Question

在各項均為負數(shù)的數(shù)列{a_n}中，已知點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=

2

3

x的圖象上，且a2•a5=

8

27

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出其通項；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把點的坐標代入直線方程，根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明，顯然公比是

3

2

，再根據(jù)條件a2•a5=

8

27

求出首項即可求出這個數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列b_n是一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列的對應(yīng)項的和組成的數(shù)列，分別求和即可．

解答：解：（1）因為點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=

2

3

x的圖象上，
所以an+1=

2

3

an，即

an+1

an

=

2

3

，故數(shù)列a_n是公比q=

2

3

的等比數(shù)列
因為a2a5=

8

27

，則a 1q•a1q4=

8

27

，即

a

2 1

(

2

3

)5=(

2

3

)3，由于數(shù)列a_n的各項均為負數(shù)，則a1=-

3

2

所以an=-(

2

3

)n-2．（6分）
（2）由（1）知，an=-(

2

3

)n-2，bn=-(

2

3

)n-2+n，
所以Sn=3•(

2

3

)n-1+

n2+n-9

2

．（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的概念、通項，等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和．高考對數(shù)列的考查難度在下降，其考查的重點轉(zhuǎn)變?yōu)榭疾閿?shù)列中的基本問題、兩類基本數(shù)列，以及數(shù)列求和方面．解決兩類基本數(shù)列問題的一個重要思想是基本量方法，即通過列出方程或者方程組求出等差數(shù)列的首項和公差、等比數(shù)列的首項和公比．數(shù)列求和要掌握好三個方法，一個是本題使用的分組求和，第二個是錯位相減法，第三個是裂項求和法．