Question

為了保護環(huán)境，某化工廠在政府部門的支持下，進行技術改造：每天把工業(yè)廢氣轉化為某種化工產(chǎn)品和符合排放要求的氣體，經(jīng)測算，該工廠每天處理廢氣的成本y（元）與處理廢氣量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為：y=

1 16 x3+1000， x∈[10，40) 2x2-130x+5000， x∈[40，70]

，且每處理1噸工業(yè)廢氣可得價值為50元的某種化工產(chǎn)品．
（1）當工廠日處理廢氣量x∈[40，70]時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，為了保證工廠在生產(chǎn)中沒有虧損現(xiàn)象出現(xiàn)，國家至少每天財政補貼多少元？
（2）若國家給予企業(yè)處理廢氣階梯式財政補貼，當日廢氣處理量不足40噸時，給予每頓80元補貼，廢氣處理量不少于40噸時，超過40噸的部分再增加每頓55元的補貼，當工廠的日處理量為多少噸時，工廠處理每頓廢氣的平均收益最大？

Answer 1

分析：（1）利用每處理1噸工業(yè)廢氣可得價值為50元的某種化工產(chǎn)品，及函數(shù)關系式，可得利潤函數(shù)，利用配方法，即可求得結論；
（2）求出工廠處理每頓廢氣的平均收益的函數(shù)表達式，再分段求出函數(shù)的最值，即可求得結論．

解答：解：（1）當x∈[40，70]時，設該工廠獲利為S，則S=50x-（2x²-130x+5000）=-2（x-45）²-950
∴x∈[40，70]時，S_max=-950＜0，因此，該工廠不會獲利
當x=70時，S_min=-2200，
∴國家至少每天財政補貼2200元，保證工廠在生產(chǎn)中沒有虧損現(xiàn)象出現(xiàn)；
（2）由題意，工廠處理每頓廢氣的平均收益為P（x）=

130- 1 16 x2- 1000 x ， x∈[10，40) 315-2x- 7200 x ， x∈[40，70]

①當x∈[10，40]時，P（x）=130-

1

16

x2-

1000

x

，∴P′（x）=-

(x3-8000)

8x2

∵x∈[10，40]，∴10≤x＜20時，P′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，20＜x＜40時，P′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴x=20時，P（x）取得最大值，最大值為P（20）=55；
②當x∈[40，70]時，P（x）=315-2x-

7200

x

，∵2x+

7200

x

≥240，當且僅當x=60時，2x+

7200

x

取得最小值為240
∴x=60時，P（x）取得最大值，最大值為P（60）=75
綜上，x=60時，當工廠的日處理量為60噸時，工廠處理每頓廢氣的平均收益最大．

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．