Question

已知函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，（x∈R）．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的最大值及其相對應(yīng)的x值；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦與正弦可將函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2轉(zhuǎn)化為y=4sin（2x+

π

6

），利用三角函數(shù)的周期公式即可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求y_max，由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其取最大值時相對應(yīng)的x值；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）∵y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2
=2（1+cos2x）+2

3

sn2x-2
=2

3

sin2x+2cos2x
=4（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=4sin（2x+

π

6

），
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）時，y_max=4；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查二倍角的余弦與正弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查三角函數(shù)的周期及其求法，屬于中檔題．